Ella es la que corre!!Hoy les dejo un articulo muy especial que combina matematica (especialmente la geometria clasica) y futbol de una manera bien entretenida. Se trata de un estudio matematico sobre la estructura de una pelota de futbol. Este documento fue escrito por Jose Albaijes en la revista MUY INTERESANTE, no 13,en junio de 1982. Que lo disfruten amigos:
HACIA LA ESFERA PERFECTA
Aficionados o no al fútbol, todos hemos reparado en los dibujos que en la trayectoria de un balón fuertemente chutado dibujan sus partes oscuras: curvas veloces que prenden en el espacio una breve fracción de segundo y desaparecen para siempre.
Pero el impacto visual permanece. Y su recuerdo puede inducirnos a observar atentamente la geometría del balón. Una mera ojeada a su superficie nos revelará que el entramado poligonal que recordábamos vagamente es en realidad una red de pentágonos y hexágonos, imbricados de modo que cada uno de los primeros esté rodeado por cinco de los segundos. Y si tenemos la paciencia de contarlos todos, constataremos que su número es de doce y veinte, respectivamente.
Los que ya peinen alguna cana recordarán también el modelo antiguo de balón de fútbol, hecho de seis tiras de cuero cosidas entre sí, y quizá se pregunten el porqué de la actual moda. Se sorprenderán al saber que el esférico que presidirá el Mundial ’82 no es más que un paso de un camino iniciado hace, por lo menos, 2.500 años. Sócrates, en su diálogo Fedón, se refiere así al aspecto de la Tierra vista desde el espacio exterior: «coloreada como las pelotas hechas de doce trozos de fieltro».
¿De qué modo se combinaban entre sí esos doce pedazos de cuero? La respuesta no es difícil cuando sabemos que los griegos conocían ya la existencia de los cinco poliedros regulares, los únicos cuerpos geométricos que se pueden construir utilizando sólo como caras polígonos regulares iguales entre sí, y dispuestos siempre del mismo modo. Pero su belleza ya era conocida y apreciada mucho antes, como testimonia un juguete en forma de dodecaedro hallado en una tumba etrusca del Monte Loffa, cerca de Padua, fechada en 3.000 años antes de Cristo.
Los cinco poliedros son llamados también sólidos platónicos, al ser nombrados explícitamente en un diálogo de Platón cuyo personaje central, Timeo, llega incluso a asociarlos con los cuatro elementos que según las ideas de la época formaban el Universo. El agua, el aire, la tierra y el fuego eran simbolizados, respectivamente, por el icosaedro, el octaedro, el cubo y el tetraedro. Y como faltaba un elemento, el dodecaedro se consideraba como símbolo del Universo todo.
Otra vez el dodecaedro. Este símbolo eterno, el más misterioso y bello de los poliedros regulares, era también el cuerpo adoptado por los protofutbolistas helénicos como más aproximado a una esfera. Las ventajas de su uso para balón eran evidentes: las doce piezas pentagonales son idénticas, lo que simplifica el proceso de elaboración y hace que su ensamblado carezca de error posible. Basta coser las respectivas aristas, una con otra. Cerrado el cuerpo, salvo por una ventana, se rellenaría con trapos para darle forma totalmente esférica, se completaría el cosido y... a jugar se ha dicho.
Por cierto que la preferencia de los helenos por el dodecaedro hace nacer una duda en los aficionados a los cinco sólidos platónicos. Pues el icosaedro, aun teniendo el inconveniente de su mayor número de caras (contrarrestado, eso sí, por la mayor sencillez de éstas), parece como más redondeado. ¿No hubiera sido mejor la construcción de balones icosaédricos?
El cálculo desmiente pronto esta intuición. El porcentaje de volumen ocupado por el dodecaedro respecto a su esfera circunscrita (es decir, la que centrada con él pasa por todos sus vértices) es del 66,49 %; mientras que la cifra correspondiente al icosaedro es sólo del 60,55 %. Tenían, pues, razón los contemporáneos de Sócrates.
Pero los tiempos cambian. Y si el icosaedro pierde la competición como candidato a la mejor pelota de fútbol, es capaz de producir un hijo suyo cuya utilidad es hoy reconocida. Si efectuamos apuntaduras en los vértices de un icosaedro, aparecerán en ellos sendos pentágonos, los triángulos iniciales se convertirán en hexágonos y la figura ganará en grado de redondeo. Si llevamos a cabo con tino el apuntamiento podremos conseguir que tanto los pentágonos como los hexágonos sean regulares, obteniendo así el icosaedro truncado semirregular que, con una posterior presión interna —conseguida esta vez con aire en vez de
trapos apretados—, se convertirá en nuestro balón de fútbol.
Las ventajas del nuevo cuerpo frente al dodecaedro son evidentes: su mayor redondez se traduce numéricamente en un porcentaje de ocupación del 86,74 % de la esfera circunscrita. Por contra, tiene el inconveniente de su mayor número de caras —32— y de que éstas sean de dos tipos distintos, pentágonos y hexágonos.
Por cierto, que la contemplación del hexágono induce a formar poliedros regulares. Pero tales intentos se saldan en fracaso cuando se advierte que con hexágonos solamente se puede cubrir un plano pero, por la misma causa, jamás se logrará cerrar un volumen. Los mosaicos que cubren el Paseo de Gracia barcelonés son una buena muestra de ello. El biólogo D'Arcy Wentworth Thompson cuenta la anécdota de un colega que sostenía haber visto el caparazón de un erizo de mar, esférico, formado por escamas hexagonales perfectas.
—No puede ser —objetó D'Arcy—, el matemático Euler demostró hace tiempo que es imposible la construcción de un poliedro de esta especie.
—Pues entonces —replicó el colega— eso demuestra la superioridad de Dios sobre las matemáticas.
Sería muy dudoso que Dios contradijera las leyes de la lógica, que son su propia obra. En realidad, si observamos atentamente un dibujo de la Aulonia hexagon al cual se refería el entusiasta amigo de D'Arcy, comprobaremos que siempre hay alguna cara de menos (o más) de seis lados. ¿Cuántas debería haber como mínimo? Un curioso teorema geométrico nada difícil de probar, sostiene que todo poliedro formado por hexágonos y pentágonos debe contener precisamente doce de éstos, independientemente del número de hexágonos con que cuente. Obviamente, sendos casos particulares de ese hipotético poliedro son el dodecaedro regular, con cero hexágonos, y nuestro moderno balón de fútbol, con veinte. Ocurre lo mismo con el icosaedro truncado, que pertenece a la familia de los poliedros semirregulares: menos conocidos que los sólidos platónicos pero, en algunos aspectos, más bellos incluso. Pitágoras describió once de los trece cuerpos existentes de esta clase. Todos ellos tienen sus caras formadas por polígonos regulares de dos o tres clases distintas, todos iguales entre sí respectivamente y dispuestos del mismo modo en cada vértice. Desde el sencillo tetraedro truncado, con sólo ocho caras, al gran rombicosidodecaedro, con 72, todos son un prodigio de armonía geométrica. Por cierto, que el estudio de estos cuerpos nos permite aventurar cuál será el siguiente modelo de balón, más perfeccionado. No cabe duda de que el candidato con más posibilidades es el rombicosidodecaedro, formado por veinte triángulos, treinta cuadrados y doce pentágonos. Este cuerpo —que se forma truncando las aristas y vértices de nuestro eterno dodecaedro— une al tamaño más o menos igualado de sus caras la propiedad de la máxima compacidad obtenible: un 94,33 % del volumen de la esfera circunscrita. Claro que este ocho por cien adicional sobre el icosaedro truncado se consigue a costa de casi duplicar el número de caras de éste e introducir, además, una tercera variedad de polígonos. Pero quizás veamos el modelo en los mundiales del 86. ¿Quién se anima a presentar un prototipo?.
Pd (Langosta): Con el tiempo y a medida que pasaron los mundiales y los balones de futbol fueron cambiando hasta llegar a la "casi" esfera perfecta.
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